设 $D\subset\mathbb{C}$ 为开集, $f: D\rightarrow\mathbb{C}$ 为复函数, $z_0\in D$. 若极限

\[
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\]

存在(且有限), 则称 $f$ 在 $z_0$ 处可导, 并称此极限值为 $f$ 在 $z_0$ 处的导数, 记为 $f'(z_0)$.

如果 $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ 在 $D$ 中任何一点处均可导, 则称 $f$ 为 $D$ 中的全纯函数, 或称 $f$ 在 $D$ 内全纯.

记 $f$ 的实部和虚部分别为 $u$, $v$, 即 $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. 则 $f$ 为全纯函数的充分必要条件是 $u,v$ 满足下面的 Cauchy-Riemann 方程(柯西-黎曼方程):

\[
\begin{cases}
u_x=v_y,\\
u_y=-v_x.
\end{cases}
\]

$f(z)$ 在 $z_0$ 全纯也等价于

\[\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\biggr|_{z=z_0}=0\].

说明为何有

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}),\\
\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}).
\end{aligned}
\]

Remark:

若 $f'(z)$ 存在, 则 $f^{(n)}(z)$ 都存在, $n\in\mathbb{N}$. 也就是说, 若 $f(z)$ 全纯, 则它任意阶可导.

References:

梅加强, 《黎曼曲面导引》, 北京大学出版社, 2013年.